基于带状单元法的电磁弹性多层板复频散特性分析

 

 

摘要超声波在弹性介质中传播时理论上可以分为传播、非传播及衰减模式，且分别与实、虚及复波数相对 应，可用复频散特性来进行描述.这一性质在电磁弹性多层板结构中同样存在.该文利用带状单元法对其进行了分 析和计算.首先,利用能量守恒定律并结合介质的本构方程、平衡方程及相应边界条件构建了结构的带状单元模 型，然后利用该模型获得了电磁弹性多层板的频散方程，最后以一个由压电材料BaTi03和压磁材料CoFe204构成 的三层板为数值分析对象，给出了波在其中传播时的复频散特性,并利用计算结果证明了当前相关文献中材料常 数引用的不合理性.

 

关键词带状单元法，电磁弹性材料，多层结构，頻散特性

 

系相当方便，但用来分析复波数与频率的关系（复频 散特性)则明显不足.然而复频散特性对于计算电磁 弹性多层结构的Green函数和动态响应很有意义， 因此本文拟采用带状单元法对电磁弹性多层板结构 的复频散特性进行计算和分析.带状单元法最先由 Cheimg[5]提出，后来被推广应用，如Liu等[6’7]用来 对线弹性复合材料的应力及裂纹的波散射问题进行 分析，相较有限元法，该方法在计算效率和存储量上 具有一定优势.

 

沿厚度方向，坐标系的面位于板的下表面.设 第J层的上、下表面z坐标分别和z,-,，其厚度 为々一 z,-:.假设各层间的广义位移（弹性位 移、电动势和磁动势）和应力（弹性应力、电位移和磁 感应强度)[3]均连续，板的上、下表面应力已知，且板 在工向无限大.

 

 

对于电磁弹性结构，在无外加的力、电荷和电流 的情况下，根据Hamilton定律，其Lagrange函数的 变分满足：

5| Lit = 0

这里Lagrange函数L=T—E.对于板中的第j 层介质，在超声波传播的情况下其动能可以表示成：

 

上述各积分式可以利用高斯积分方法进行计 算.对式（14)进行变分后，可以得到以各层上、中和 下表面位移表示的介质运动微分方程：

 

KJ,s(]> +K(2>>s(.1J -SC^s^ +Af) (15) 其中，刚度矩阵Ki;> =KW ;吩)=KSi> U = 和紀/是对称矩阵，而为反对称矩 阵.式（15)仅是描述第j层介质运动的微分方程组， 对一 JV层板结构，整体运动微分方程组可由各层的 刚度矩阵和质量矩阵组装而成.得到N层板的运动 方程后，就很容易推导出该电磁弹性板的特征值问 題，从而可以确定波在其中传播时的频散特征方程.

 

对于组装后的总体运动微分方程，在求解时必 须考虑边界条件.对于该N层电磁弹板，假设板的 上、下表面无应力作用，而且电磁学短路，即：

F/B/F，其中F和B分别表示CoFe204和BaTiO,， 这类结构在文献[3，4]中都采用过，且其中的材料常 数取自文献[9],这些常数中C0Fe204的磁导率常 数取负值.为了获得较精确的分析结构，在此将毎一 层划分为4个子层.图3和图4分别给出了两种不 同叠层形式电磁弹性三层板的频散曲线，只不过前 者采用了是负磁导率常数，后者采用的是正磁导率 常数.在这些图中，纵坐标表示归一化的频率= 是弹性常数矩阵中的最大元素; ((W是各层材料中的最大密度），横坐标表示无量纲 波数为了便于观察，表示衰减传播模式的复波 数图中没有给出，图中纵坐标右侧给出了表示传播 模式的实波数，左侧表示非传播模式的纯虚波数.

 

通过进一步观察和比较图3和4可以发现，对 于同样的叠层结构（如B/F/B)，其差别主要表现在 两方面:（1)在图3(a)中，某些行波模式的波数并不 随频率变化而变化；（2)随着磁导率常数由负值变 成正值,某些传播波模式变成了非传播模式.这些现 象的出现与CoFe204的磁导率常数取值存在直接

3结论

 

本文用带状单元法对电磁弹性多层结构的复频 散特性进行了分析.理论推导和数值算例表明该方 法对于求解复频散特性是可行、有效的.通过对一个 三层的电磁弹性板的数值分析表明，目前在很多文 献中引用的CoFqC^的磁导率常数取值符号不合 理，与能量守恒定律不相一致.另外，用本文方法解

出的复频散特性还可用来进~步求解电磁弹性多层 结构的Green函数及动态响应[11].